密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

密码学 2个月前 admin
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5.3.2
贝叶斯公式
在上一节的 例5.22 中,两个事件  和  同时发生的概率我们知道一个事件已经发生,另一个事件发生的概率。前者记为 ;后者则称为  在  上的条件概率。
定义   在  上的条件概率

密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

 和  同时发生的概率与  在  上的条件概率有关,公式如下

密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

 

式 5.18 通常被视为条件概率  的定义。在左侧,我们假设  发生,所以我们现在的样本空间是 而不是 。我们要求事件 发生在这个较小的样本空间中的概率,因此我们计算事件  中包含事件  的概率的分母应该是事件  的大小。这给出了 式 5.18 的右侧。
根据式 5.18 我们也有:

密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

式子两边除以  我们就得到最早版本的贝叶斯公式

密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

 

这个公式一般用在:当我们知道  在  上的条件概率,但想知道  在  上的条件概率。
有时,通过将事件划分为不相交事件的并集来计算事件的概率更容易,如下一个命题,该命题包括贝叶斯公式的另一个版本。

命题 5.24

密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式


下面是一些使用条件概率的例子,而贝叶斯公式将在下一节使用。
例 5.25 有两个装有金币和银币的盒子。盒 1 中有 10 个金币和 5 个银币,和 2 中有 2 个金币和 8 个银币。现在我们随机的挑选一个盒子,随机的取一枚硬币,那么取出一枚金币的概率有多大呢?
我们设事件  为取出一枚金币, 发生的概率依赖于选择的盒子,然后是盒子中哪一枚硬币被获取。因此,很自然的,我们将事件  发生的所有可能结果进行划分。
我们设事件  为从盒子 1 中进行选取。那么  就是从盒子 2 中进行选取。那么根据公式 5.20,我们有
密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式
这里的关键点是我们很容易就能计算右手边的条件概率,同样也很容易计算  和 ,即
密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式
于是我们计算出

密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

 

例 5.26 三个囚犯问题
三个囚犯是一个关于条件概率的经典问题。三名囚犯 Alice、Bob 和 Carl 被狱警告知:第二天,其中一人将出狱,但另外两人将不得不服无期徒刑。狱卒说,他不会告诉任何囚犯他或她会发生什么。但是 Alice,她认为自己获得自由的机会现在是 ,要求狱卒给她一个囚犯的名字,除了他自己,谁不会被释放。狱卒告诉 Alice, Bob 将继续呆在监狱里。那么现在 Alice 自由的机会有多大?概率是否发生了变化?Alice 可能会说,她现在有  被释放的机会,因为 Bob 肯定会被继续监禁。另一方面,似乎也有理由认为,由于 Bob 或 Carl 中的一人肯定会呆在监狱里,这一额外的信息也不能改变 Alice 的命运。
事实上,任何一个答案都可能是正确的。这取决于狱卒在决定给 Alice 哪个名字时遵循的策略(假设 Alice 知道正在使用哪个策略)。如果狱卒在 Bob 和 Carl 都可以选择的情况下会随意选择一个名字,那么爱丽丝获得自由的机会并没有改变。然而,如果狱卒会优先给出鲍勃的名字,其次才是 Carl,那么新的信息确实会把爱丽丝的释放概率改变为  。
       

原文始发于微信公众号(山石网科安全技术研究院):密码学|5.3 概率论 贝叶斯公式

版权声明:admin 发表于 2022年12月12日 上午10:29。
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