贝叶斯滤波（BF），卡尔曼滤波（KF），扩展卡尔曼滤波（EKF）等均属于动态模型（Dynamic Model）中的连续分布问题，动态模型离散模型有隐马尔科夫链（HMM）。所有动态模型基于两个假设：1，当前时刻状态只与上一时刻有关。2，当前时刻观测只与当前的状态有关。
HMM可应用于自然语言处理（NLP），在HMM的基础上发展出循环神经网络（RNN），多用于语音语义识别，以及经典隐马尔科夫混合高斯–梅尔频率倒谱系数（HMM-GMM-MFCC）用于语音语义识别（初代Siri）。
1、贝叶斯滤波
贝叶斯滤波是基于贝叶斯估计的一种对随机信号进行处理，减少其不确定性的一种方法。贝叶斯估计引入外部观测（证据，观测）对主观概率进行修正，得到一个相对客观的概率先验概率，似然概率（传感器的精度），以及后验概率是贝叶斯滤波的三个主要概率。
1.1、离散情况：
其公式为：
式中，P(X|Y)为后验概率，P(Y|X)为似然概率，P(X)为先验概率，P(Y)为在所有X的情况下Y发生的概率。
假设：一个温度的例子，预测今天多少度
首先，先验概率分布（先验可以随便猜测）P（T=10）=0.8，（温度等于10度的概率为0.8），P（T=11）=0.2（温度等于11度的概率为0.2）。
其次，温度计测量值为Tm=10.3（温度计测量是有误差的）。
后验概率可以写成：
式中，P（Tm=10.3）=P（Tm=10.3|T=10）P(T=10)+P（Tm=10.3|T=11）P(T=11)
重要一点P（Tm=10.3）跟T的取值无关，跟T的分布率有关。
最终的温度的预测结果为T=10*P(T= 10|Tm = 10.3)+11*P(T = 11|Tm = 10.3)。
离散的贝叶斯通用公式可写为：
后验概率=η*似然概率*先验概率
其中η=1/（Σ似然概率∗先验概率）。
1.2、连续情况：
其公式为：
式中，P是概率，X<x等同于概率密度函数从零进行积分到x，此时，P（Y=y）为零（原因跟数轴取一个有理数的概率为零的原因是一样的）。求P（X<x|Y=y）就要用到化积分为求和，尽量离散化。
然后类似与积分，加小变量进行积分，就可以积分得到：
式中，f为概率密度函数，概率密度函数积分得概率，连续贝叶斯公式为：
假设：还是温度的例子，前面是二项分布为离散，现在是假设为高斯分布f（x）~N（10，1^2）均值为10，方差为1的高斯分布。
上面描述了什么是贝叶斯估计，基于贝叶斯估计滤波的方法为贝叶斯滤波
假设一个随机过程：
式中，y1是对x1的观测，y2是对x2的观测。
如果每一个先验信息都是靠猜测的话，就会过于依赖观测，放弃了预测信息。所以就利用所有的预测信息，只有x0是猜测的，x1，x2….等通过递推公式来计算，这样就是贝叶斯滤波。就需要马尔科夫的假设，即1，当前时刻状态只与上一时刻有关。2，当前时刻观测只与当前的状态有关。
状态方程：
上式反映状态变化的方程，Qk为噪声分布。
观测方程：
上式反映观测的方程，Rk为噪声分布。
其中：Xk本应该是真值，会更精准，但是实际执行中没有真值，当前时刻的最有可能的真值是你的预测值，所以Xk也可以是预测值，即为状态方程推出的当前时刻的状态。
所以贝叶斯滤波分为两步：
预测步，根据状态方程，上一时刻的后验->这一时刻的先验；
更新步，根据观测方程，这一时刻的先验->这一时刻的后验。
预测步需积分，跟贝叶斯估计类似。结果为：
更新步：
f（x）–为先验，f（x）+为后验。
期望为：
贝叶斯滤波到此结束，两个公式。
所以在贝叶斯滤波的基础上添加限制条件，状态方程和观测方程都为线性，且Q，R为正态分布，即为卡尔曼滤波（KF），状态方程和观测方程都为非线性，且 Q，R为正态分布，扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）。
直接对无穷积分有两种方法，一是基于蒙特卡罗积分，即采样，以样本来反映整体分布，即粒子滤波（particle filter）。一种是基于直方图形式，类似微分相加，即为直方图滤波（Histogram filter）。
原文始发于微信公众号（新能源汽车仿真团队）：浅谈卡尔曼滤波算法01-贝叶斯滤波
