密码学 | 5.3.5 期望

密码学 1个月前 admin
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随机变量  的期望值是其值的平均值,该值由其的发生概率加权。因此,期望值提供了  的一个粗略预期。

定义 设又随机变量 ,其可能取值为  的期望由下式表

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5.35 设有随机变量  表示为两个骰子出现的点数,因此  的取值范围是 ,所以

如 表5.8a 所示,两个骰子共有36种可能组合。我们从该表中可以读出两个骰子总和等于  的方法的数量,并将结果汇编在 表5.8b 中。概率

 是两个骰子相加等于  的次数乘以  ,因此我们可以使用 表5.8b 来计算

这个答案是有意料之内的,因为中间值就是 ,对于任何整数  的值可以表示为 ,或 

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Table 5.8: Outcome of rolling two dice
“期望值“这个名称其实不那么准确,因为期望  是一个加权平均值,这意味着它可能为一个实际不可能达到的值,如下面的示例所示。

例 5.36 假设我们从  中随机选取一个值,,随机变量设为 ,那么对于 ,我们有  , 均匀分布。那么  的期望为

但实际上  并不能取值为 。更一般的,对于集合  ,随机变量  如果是均匀分布的话,那么  的期望为 

例 5.37 回到我们之前的的抛硬币实验(例5.31),其中任何一次投掷硬币时获得正面的概率设为 。如果第一次正面出现在第  次掷硬币中,设  是等于  的随机变量。那么  具有几何分布,其密度函数  由公式(5.25)给出。我们计算其 ,即第一个正面出现之前的预期投掷次数:

这个答案似乎是合理的,因为  值越小,在获得第一个正面之前,我们预期需要的投掷次数就越多。这里对于几何分布的期望  的计算使用了一个非常有用的技巧,即先求导数,然后再求几何级数的和
       

原文始发于微信公众号(山石网科安全技术研究院):密码学 | 5.3.5 期望

版权声明:admin 发表于 2022年12月29日 上午10:33。
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